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Abstract

"Der Begriff der Gleichheit ist uns Mathematikern vielleicht der geläufigste; dennoch läßt sich schwer sagen, was wir unter ihm verstehen." - Mit diesem Satz beginnt GERHARD HESSENBERG sein Buch über die .Grundlagen der Geometrie' ([24], Berlin, 1930, §1). Er kommt nach einer ausführlichen Diskussion zum Schluß, daß die Relation der Gleichheit nichts anderes als eine Äquivalenzrelation sei, also eine symmetrische, transitive und reflexive Relation, und daß auch umgekehrt jede symmetrische, transitive und reflexive Relation eine Gleichheitsbeziehung sei. Die Begriffe Gleichheit und Äquivalenz wären demnach synonym. Schaut man im .Mathematischen Wörterbuch' von J. NAAS & H.L. SCHMID (Berlin, 1967) nach, so findet man unter dem Stichwort Gleichheit (p. 639) genau dieselbe Definition: "Die Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation und umgekehrt kann jede Äquivalenzrelation als eine besondere Art von Gleichheit aufgefaßt werden."

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Abstract

In seinen "Grundlagen der Geometrie" hat Hilbert die Bemühungen um eine Grundlegung der Geometrie zu einem überzeugenden Abschluss gebracht. Um diese Leistung würdigen zu können, müssen wir auf die lange Geschichte der Grundlagendiskussion - von der Antike bis zur Gegenwart - jedenfalls in großen Zügen eingehen. Wir werden insbesondere über das Problem, wie die geometrischen Grundbegriffe einzuführen sind (Euklid, Heron, Descartes, Pascal, Hobbes, Tschirnhaus et al.), und über die verschiedenen Entwürfe einer axiomatischen Grundlegung (Aristoteles, Euklid, Tschirnhaus etal.) berichten und danach das von Hilbert aufgestellte Axiomensystem besprechen. Ähnlich wie Dedekind 1888 den Bereich der natürlichen Zahlen (bis auf Isomorphie) als minimales Modell eines bestimmten Axiomensystems charakterisieren konnte, gelang es Hilbert, die euklidische Geometrie als maximales Modell seines Axiomensystems zu charakterisieren.