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Abstract

Ziel des Buches ist die Entwicklung eines mathematischen Modells des Informationsflusses. Information ist dabei ein inneres Maß der Struktur und Ordnung in Teilen des Universums oder in seinem Ganzes, das eng mit der Entropie zusammenhängt

Content

Enthält die Kapitel: (1) Information - (2) Information, Situationen und Infone - (3) Situationstheorie - (4) Bedeutung und Bindungen - (5) Einige logische Probleme - (6) Geisteszustände - (7) Wahrnehmung und Handlung - (8) Situationssemantik - (9) Themen aus der Situationssemantik - (10) Rückblick und Ausblick

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Abstract

Vielleicht nicht das erste Mathematik-Buch ohne eine Formel, aber auf jeden Fall das erste verständliche Mathe-Buch. Ein Abriß über die gemeinsame biologische Wurzel von Sprache und Mathematik und die Folgerungen, die sich daraus ergeben. Für Nichtmathematiker besonders geeignet und schonend geschrieben. Gibt es ein mathematisches Gen? Warum können bestimmte Menschen Mathematik und andere angeblich überhaupt nicht? Kann man Mathematik lernen oder nicht? Für Keith Devlin haben Sprache und Mathematik eine gemeinsame natürliche Wurzel, sie sind beide "ein Wunderwerk der Natur" (Steven Pinker). Sprache und Mathematik bringen weder Eltern noch die Schule Kindern bei. Alle Kinder erlernen "Sprache" und "Mathematik" wie das Gehen, Schwimmen oder das Fahrradfahren. Für Menschen ist es also natürlich, Mathematik zu treiben, wie für Elefanten, einen Rüssel zu haben, oder für Vögel, das Fliegen zu lernen. Mathematik ist das Resultat eines biologischen Anpassungsprozesses. Im Gegensatz z ur Sprache aber ist Zählen, Rechnen und mathematische Abstraktionsfähigkeit nicht so früh für den sozialen Umgang erforderlich wie das Sprechen. Fast alle Menschen üben ihre mathematischen Fähigkeiten, über die jeder verfügt, nicht in gleichem Maße wie ihre sprachlichen. Viel zu wenigen Menschen gelingt es, ihr wirkliches mathematisches Können auszuloten. Man kann über Mathematik schreiben, ohne damit 99,9 Prozent der Menschheit zu quälen. Dies beweist Keith Devlin informativ, kurzweilig, spannend, witzig und vor allem einfühlsam, denn er erweist sich als Therapeut für alle Mathematiktraumatisierten von 8 bis 108 Jahre. Der Autor entführt seine Leser in das Reich der Mathematik und löst die kühne Behauptung ein, er sei noch niemandem begegnet, der sich nicht für Mathematik interessiert hätte - nach der Lektüre seines Buches versteht sich. Ist doch logisch, oder?

Footnote

Rez. in: Spektrum der Wissenschaft 2002, H.4, S.104-105 (S. Welke): "Wenn es ein Gen für Mathematik-Begabung gäbe, würden die vielen Menschen, denen Mathematik eine Quälerei ist, das vielleicht als Trost empfinden. Dann wären sie ja nicht selbst für ihre schlechten Noten verantwortlich ... Pech gehabt, sagt der Mathematiker, Wissenschaftsjournalist und Sachbuchautor Keith Devlin. Es gibt nämlich gar kein Mathe-Gen. Die Eigenschaften, die den Menschen zum Betreiben von Mathematik befähigen, sind dieselben, die ihm auch Sprechen und abstraktes Denken ermöglichen. Ohne Sprache keine Mathematik. Zur Begründung führt er den Leser auf eine Gedankenreise durch Mathematik, Sprachwissenschaft und Evolutionstheorie. Auf der ersten Station dieser Reise fasst er zusammen, was er bereits in "Muster der Mathematik" (Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1998) ausgebreitet hat: Mathematik ist die Wissenschaft von den Mustern - realen oder vorgestellten. Es kann sich um geometrische, logische oder auch grammatische Muster handeln. In einem eigenen Kapitel erläutert Devlin das mit Beispielen aus Geometrie und Gruppentheorie. Zahlen sind nur ein Aspekt unter vielen, und Mathematik beginnt erst da, wo der Zahlensinn aufhört. Darauf bezieht sich der zweite Teil des Untertitels. Und da für Devlin das menschliche Gehirn keine Rechenmaschine ist, sondern ein Apparat zur Mustererkennung, ist es bestens für die Beschäftigung mit Mathematik geeignet. Professionelle Mathematiker denken zwar zweifellos anders als andere Menschen, aber sie haben keine anderen Gehirne. Numerische und algorithmische Kompetenz, die Fähigkeit zu abstrahieren und Bezüge herzustellen, der Sinn für Ursache und Wirkung und damit die Fähigkeit, eine längere Kausalkette zu konstruieren und zu verfolgen, logisches Denken und räumliches Vorstellungsvermögen sind nach Devlin die Fähigkeiten, die den Menschen in die Lage versetzen, Mathematik zu betreiben. Lässt man den ersten und den letzten Punkt dieser Aufzählung fort, dann wird klar, wie Devlin zu seiner Kernaussage von der gemeinsamen Wurzel von Mathematik und Sprache gelangt. - Offline-Denken - Dazu zitiert Devlin ausgiebig Fachleute auf den Gebieten der biologischen und der Sprachevolution und gibt dann seine eigene Interpretation, die von den Erkenntnissen der Fachleute nicht gerade erzwungen, aber doch plausibel gemacht wird. Sprache ist für ihn mehr als bloße Kommunikation. Im Gegensatz zu Protosprachen wie dem - durchaus Information vermittelnden - Schwänzeltanz der Bienen hat sie eine Struktur, eine Grammatik. Nach den Forschungsergebnissen des Linguisten Noam Chomsky und seiner Nachfolger ist die Grundstruktur dieser Grammatik in allen menschlichen Sprachen im Wesentlichen dieselbe. Damit ist belegt, dass allen Menschen eine Fähigkeit zur Musterbildung gemeinsam ist - und damit auch eine Fähigkeit zur Mathematik. Devlin geht noch einen Schritt weiter. Im Gegensatz zur gängigen Ansicht sei Kommunikation nicht die evolutionäre Triebkraft der Entwicklung zur grammatisch strukturierten Sprache, sondern deren Neben- oder Folgeeffekt, ein "Nebenprodukt der Fähigkeit unserer Urahnen, die Welt, in der sie lebten, mehr und mehr zu verstehen - sowohl ihre physische Umgebung als auch ihre zunehmend komplexer werdende soziale Welt". Der entscheidende Entwicklungsschritt zum Verstehen der Welt ist in seinen Augen die Fähigkeit zum "offline- Denken". Gemeint ist die Fähigkeit, äußere Reize zu simulieren, sich eine Vorstellung von - etwa - einem Mammut zu machen, ohne es leibhaftig vor Augen zu haben. In der Folge kann das Gehirn Strukturen, insbesondere eine Grammatik, in der Vorstellung selbst bilden.
An diesem Punkt der Evolution trennen sich die Wege von Mensch und Tier, und es taucht die Frage auf, wieso der Mensch als einziges Tier diesen Weg gegangen ist. Zunächst stellen ein großes Gehirn und die Fähigkeit des offline-Denkens keinen besonderen Selektionsvorteil dar. Erst als diese Fähigkeit innerhalb einer evolutionsgeschichtlich kurzen Zeitspanne vor ungefähr 200000 bis 75000 Jahren zur Bildung von Sprache und zu komplexeren Denkstrukturen führte, begann der Mensch die Welt zu erobern. Zum Schluss bezieht Devlin seine Interpretation der Sprachevolution auf die Frage, worin sich in Mathematik erfolgreiche Menschen von den erfolglosen unterscheiden. Worüber kommunizieren Menschen am meisten? Nach Devlin sind es Klatsch und Tratsch. Wo liegt hier der Selektionsvorteil? Dem Klatsch liegt ein Interesse am Mitmenschen zu Grunde. Er trägt zum Zusammenhalt der Gruppe bei und war daher ein Überlebensvorteil. Wer ist erfolgreich in Mathematik? Derjenige, der sich für Beziehungen zwischen mathematischen Strukturen interessiert und darüber klatscht. So wie sich andere für die Fußball-Bundesliga interessieren und die Spielergebnisse der letzten zehn Jahre auswendig wissen. Jeder besitzt im Prinzip die gleiche Fähigkeit, Mathematik zu betreiben, wie auch fast jeder an einem Marathonlauf teilzunehmen fähig ist. Entscheidend ist, ob man es will. Dieses nach über 350 Seiten überraschend simple Ergebnis erinnert stark an das amerikanische Glaubensbekenntnis, dass man den Erfolg nur wollen muss. Und genau das hat sich der geplagte Mathematiklehrer, mit desinteressierten Schülern konfrontiert, eigentlich schon immer gedacht. Der eigentliche Gewinn beim Lesen dieses Buches liegt woanders: Man erfährt sehr viel über die Entwicklung des menschlichen Gehirns und seiner Fähigkeit, zu denken und Sprache zu entwickeln. Darüber hinaus lernt man eine originelle Interpretation bekannter Tatsachen der menschlichen Evolution kennen. Dieses Buch bietet mehr, als der Titel verspricht."

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Footnote

Rez. in: Wechselwirkung 27(2005) Nr.132, S.94-95: "Brachte Devlins Buch »Das Mathe-Gen« Zahlenmuffeln die Mathematik näher, so zeigt er nun, dass wir um die Mathematik überhaupt nicht herumkommen, wenn wir die Natur und uns selbst verstehen wollen: Pflanze, Tier und Mensch, jedes Lebewesen beherrscht das Spiel mit Zahlen. Auch in seinem zweiten Buch führt Keith Devlin spielerisch vor, wie man abstrakte Formelmonster der Mathematik zum Leben erweckt, ohne dass sie erschrecken. Es gibt ihn, den mathematischen Instinkt. Und Sie haben ihn auch! Wetten, dass... ? Einige Beispiele für den mathematischen Instinkt in der Natur: Warum wir mit Zahlen spielend umgehen können, wenn es sich um Euros, Zentimeter und Meter, Gramm und Kilos handelt. Warum Hunde auf dem schnellsten Weg jeden Ball und Stock fangen? Wie Katzen wieder auf den Beinen stehen, wenn sie vom Baum fallen. Wie Vögel bis zur 40.000 km jährlich zurücklegen, ohne sich zu verfliegen?"
Weitere Rez. in Spektrum der Wissenschaft 2006, H.7, S.103-104 (T. Scheuer): "Dieses Buch behandelt zwei Themenbereiche, die an sich so gut wie nichts miteinander zu tun haben. Keith Devlin dagegen, Mathematikprofessor in Stanford (Kalifornien) und Autor zahlreicher populärer Werke über Mathematik, behauptet, sie seien im Wesentlichen dasselbe. Das durchzuhalten gelingt ihm nur mit einem sehr merkwürdigen Verständnis von mathematischer Tätigkeit. Liest man allerdings über diesen fundamentalen Fehler hinweg, findet man viele zum Teil sehr erstaunliche Tatsachen und Denkanstöße. Das erste Thema, das etwas mehr als die Hälfte des Buchs ausmacht, lautet: Tiere lösen gewisse mathematische Probleme, zum Teil ausgesprochen schwierige. Ein Hund namens Elvis holt einen Ball aus dem Wasser, den sein Herr nicht senkrecht zur Uferlinie, sondern schräg hineingeworfen hat. Nun springt der Hund nicht in gerader Linie auf den Ball zu; er rennt ein Stück am Ufer entlang und geht dann ins Wasser, und zwar nicht etwa dort, wo er am Ufer dem Ball am nächsten ist, sondern ein wenig vorher. Auf diese Weise wählt der Hund nicht die kürzeste, sondern die schnellste Strecke aus, um den Ball aus dem Wasser zu holen. Nachmessen zeigt, dass der Hund ziemlich gut darin ist, diesen optimalen Weg abzuschätzen. Aber folgt daraus, dass der Hund das Minimierungsproblem löst, das diese Aufgabe - mathematisch gesehen - ja ist? Dass er die Nullstelle der Ableitung einer quadratischen Funktion berechnet? Diese Schlussfolgerung geht mir eindeutig zu weit. An verschiedenen Stellen im Buch relativiert der Autor selbst diesen sehr drastischen Standpunkt. Es bleibt aber die Tatsache, dass der Hund recht genau schätzen kann, was der schnellste Weg ist. So wie wir schätzen können, wie wir einen Ball werfen müssen, um ein bestimmtes Ziel zu treffen. Mit einiger Übung, versteht sich. Und nicht, indem wir eine komplizierte mathematische Aufgabe berechnen! Schade, dass Devlin dieses Beispiel in seinem Buch nicht bringt.
Pflanzen verhalten sich in ihrem Wachstum nach gewissen Regeln, die man mathematisch beschreiben kann. Ebenso Schneckenhäuser, und es gibt noch viel mehr Beispiele. Aber berechnet eine Sonnenblume Fibonacci-Zahlen, wenn ihre Kerne wachsen? Oder berechnet eine Schnecke Logarithmen? Wohl kaum. Viele Sachverhalte in der Natur lassen sich durch mathematische Gleichungen beschreiben, und es ist sehr berechtigt, die faszinierenden Lösungen, welche die Evolution gefunden hat, zu bewundern. Damit kann aber nicht gesagt werden, dass die Natur Mathematik betreibt. Wie kommt Devlin eigentlich zu diesem Fehlschluss? In einem kleinen Satz passiert es: Wir treiben Mathematik, indem wir bewusst über bestimmte Dinge nachdenken. Nehmen wir einen Taschenrechner oder einen Computer zu Hilfe, so treiben wir immer noch Mathematik. Achtung, jetzt kommt's: »In vielen Fällen können wir uns sogar mit der Behauptung abfinden, der Taschenrechner oder Computer betreibe die Mathematik.« Der Rest des falschen Schlusses geht ganz schnell: Was wir einer Maschine zubilligen, das werden wir doch wohl auch einem lebenden Wesen wie unserer Hauskatze zugestehen? Nur: Was ist mit einem kosmischen Gesteinsbrocken? Der findet auch seinen Weg durchs All, den das Gravitationsgesetz ihm vorschreibt. Aber kein Mensch würde dem Stück Stein die Fähigkeit zuschreiben, die zugehörigen Differenzialgleichungen zu lösen. Aber was Devlin uns aus der Tier- und Pflanzenwelt berichtet, wird durch das falsche Etikett um keinen Deut weniger interessant. Die Orientierungsleistungen der Ameisen, Bienen, Langusten oder auch Zugvögel und Schmetterlinge sind mehr als erstaunlich. Fellmusterungen von Raubkatzen, die erwähnten Fibonacci-Zahlen, wie man sie an etlichen Pflanzensorten finden kann, und viele andere Dinge werden schön beschrieben und erklärt. Manche Erkenntnisse in diesen Bereichen sind erst wenige Jahre alt; hier ist das Buch durchaus aktuell, auch wenn viele der Beispiele schon lange in der einschlägigen Literatur zu finden sind.
Im zweiten Teil geht es dann darum, wie ein Mensch rechnet. Hier hat Devlin uns einige handfeste Überraschungen zu bieten. Es beginnt mit Forschungsergebnissen über die angeborenen oder in den ersten Lebenswochen erworbenen Zahlenfähigkeiten, einschließlich der zugehörigen Forschungsmethode. Schließlich kann man ein wenige Wochen altes Baby nicht fragen, ob es zwischen 1 und 2 und viele einen Unterschied macht. Jedenfalls wissen diese Kleinen schon, dass 1+1=2 ist und nicht viele, und dass noch 1 übrig bleibt, wenn man von 2 wieder 1 wegnimmt. Weiter geht es mit dem, was der Autor Straßenmathematik nennt. Die Kinder, die auf den Straßenmärkten in Südamerika Waren verkaufen, können auch ohne oder fast ohne Schulbildung sehr wohl ausrechnen, was ein Kunde zu zahlen hat und wie viel Geld er zurückbekommt. Allerdings rechnen diese Kinder ganz anders, als man es in der Schule lernt! Stellt man ihnen genau dieselben Aufgaben wie auf dem Markt in Form einer Mathematikarbeit, so versagen sie völlig, weil sie ihre Straßenmathematik nicht auf die Schulaufgaben übertragen können und damit auf die Rechenregeln angewiesen sind, die sie (vielleicht) in der Schule gelernt, aber nicht verstanden haben. Angeregt durch diese Beobachtungen, hat man ähnliche Experimente auch in den USA gemacht, indem man Leute beim Einkaufen im Supermarkt beobachtete. Hier besteht ein häufiges Problem darin, Preise hei unterschiedlichen Packungsgrößen zu vergleichen. Stehen verschiedene Füllmengen zu verschiedenen Preisen zur Auswahl, muss man einen Dreisatz anwenden. Hier ist es wieder ganz ähnlich: Die Leute konnten mit großer Sicherheit die günstigeren Produkte auswählen, aber dasselbe Problem als Rechenaufgabe kaum lösen. Leider sagt Devlin nichts darüber, wie man diese Erkenntnisse in den Schulunterricht einbauen müsste, damit die Leute vielleicht einen besseren Zugang zur Mathematik bekommen könnten oder die in der Schule gelernten Regeln auch im Alltag anwendbar würden. Insofern bleibt die ganze Geschichte ein bisschen offen, Platz genug zum Nachdenken also."